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【微分は】
曲線を直線で近似することです。
(1)例えば、コンパスで円を描いて、その一部を虫眼鏡で拡大すると、直線のように見えてきます。
さらに顕微鏡で拡大すると、（太いけど）直線にしか見えません。しかし、線を辿っていくと元に戻ってきますから、曲がっているわけです。
(2)例えば、球（球面）でも、その一部を拡大していくと、平面のように見えてきます。
地球の地図は平面として書かれていますが、実際はほとんど球です。
※このように、曲線や曲面の各部分を拡大して直線や平面に見なす操作が微分です。
直線的や平面的に扱うと、関数の様々な計算や判定（極大値や極小値など）が楽になり、微分は便利な道具になっています。
【積分は】
微分的操作で細かくした断片を積み上げて、図形の持つ量を数値化する操作です。
(1)例えば、平面上にある曲線を持った図形の面積を求めること
(2)例えば、立体空間にある曲面を持った図形の体積を求めること
※図形の面積や体積だけでなく、加速度から速度、速度から移動距離を求めるときなどに積分は必要です。
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1010733170
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